常微分方程：u′′+u′+u=1u''+u'+u=1u′′+u′+u=1 常微分方程2 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Solve the following ordinary differential equation (ODE): u′′+u′+u=1u^{\prime \prime} + u^{\prime} + u = 1u′′+u′+u=1 解析 齐次方程 u′′+u′+u=0u''+u'+u=0u′′+u′+u=0 的特征方程 r2+r+1=0⇒r=−1±i32.r^2+r+1=0\Rightarrow r=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}.r2+r+1=0⇒r=2−1±i3. 因此 uh=e−x/2(C1cos3x2+C2sin3x2).u_h=e^{-x/2}\left(C_1\cos\frac{\sqrt3 x}{2}+C_2\sin\frac{\sqrt3 x}{2}\right).uh=e−x/2(C1cos23x+C2sin23x). 取常数特解 up=1u_p=1up=1（代入可得 111）。 通解为 u(x)=1+e−x/2(C1cos3x2+C2sin3x2).\boxed{u(x)=1+e^{-x/2}\left(C_1\cos\frac{\sqrt3 x}{2}+C_2\sin\frac{\sqrt3 x}{2}\right)}.u(x)=1+e−x/2(C1cos23x+C2sin23x).