拐点与正态分布 CDF 的拐点 What is an inflection point? 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 What is an inflection point? What is the coordinate of the inflection point of the cumulative distribution function of a N(μ,σ)N(\mu ,\sigma)N(μ,σ) random variable? 解析 拐点（inflection point）指函数曲率发生改变的点，典型判别是二阶导数在该点附近变号（或等价地凸凹性改变）。 对 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)，CDF 为 F(x)=Φ(x−μσ).F(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).F(x)=Φ(σx−μ). 有 F′(x)=1σφ(x−μσ),F'(x)=\frac{1}{\sigma}\varphi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),F′(x)=σ1φ(σx−μ), 其中 φ\varphiφ 为标准正态密度。再求导： F′′(x)=1σ2φ′(x−μσ)=1σ2(−x−μσ)φ(x−μσ).F''(x)=\frac{1}{\sigma^2}\varphi'\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) =\frac{1}{\sigma^2}\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\varphi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).F′′(x)=σ21φ′(σx−μ)=σ21(−σx−μ)φ(σx−μ). 令 F′′(x)=0F''(x)=0F′′(x)=0 得 x=μx=\mux=μ。因此拐点坐标为 (μ,12).\boxed{\bigl(\mu,\tfrac12\bigr)}.(μ,21).