李乌维尔定理

Prove Liouville's theorem

Prove Liouville's theorem—that is that a function which is differentiable and bounded on the whole complex plane is constant.

解析

设 $f$ 为整函数且在全复平面有界： $|f(z)|\le M$ 。

由柯西积分公式可得柯西估计：对任意 $R>0$ 与任意 $z_0$ ，

|f'(z_0)|\le \frac{M}{R}.

令 $R\to\infty$ 得 $f'(z_0)=0$ 。由于 $z_0$ 任意，故 $f'\equiv 0$ ，因此 $f$ 为常数。

这就是李乌维尔定理。