级数收敛

用积分判别法。函数 $f(x)=e^{-\sqrt x}$ 在 $[1,\infty)$ 上正且单调递减。

计算

$$\int_1^{\infty}e^{-\sqrt x}\,dx.$$

令 $u=\sqrt x$，则 $x=u^2,\ dx=2u\,du$：

$$\int_1^{\infty}e^{-\sqrt x}\,dx=\int_1^{\infty}2u e^{-u}\,du<\infty.$$

因此 $\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\sqrt n}\text{ 收敛}}$。

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英文解析

Use the integral test. The function $f(x)=e^{-\sqrt x}$ is positive and monotonically decreasing on $[1,\infty)$.

Compute

$$\int_1^{\infty}e^{-\sqrt x}\,dx.$$

Let $u=\sqrt x$, so $x=u^2$and $dx=2u\,du$:

$$\int_1^{\infty}e^{-\sqrt x}\,dx=\int_1^{\infty}2u e^{-u}\,du<\infty.$$

Therefore $\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\sqrt n}\text{ converges}}$.