级数：∑e−n\sum e^{-\sqrt n}∑e−n 是否收敛 无穷级数 2 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Does the infinite sum ∑n=1∞e−n\sum_{n = 1}^{\infty}e^{- \sqrt{n}}∑n=1∞e−n converge? 解析 用积分判别法。函数 f(x)=e−xf(x)=e^{-\sqrt x}f(x)=e−x 在 [1,∞)[1,\infty)[1,∞) 上正且单调递减。 计算 ∫1∞e−x dx.\int_1^{\infty}e^{-\sqrt x}\,dx.∫1∞e−xdx. 令 u=xu=\sqrt xu=x，则 x=u2, dx=2u dux=u^2,\ dx=2u\,dux=u2, dx=2udu： ∫1∞e−x dx=∫1∞2ue−u du<∞.\int_1^{\infty}e^{-\sqrt x}\,dx=\int_1^{\infty}2u e^{-u}\,du<\infty.∫1∞e−xdx=∫1∞2ue−udu<∞. 因此 ∑n=1∞e−n 收敛\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\sqrt n}\text{ 收敛}}n=1∑∞e−n 收敛。