级数收敛性判断

1. $\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k$：调和级数发散。

2. $\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}$：$p$ 级数，$p=2>1$，收敛。

3. $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k\ln k}$：可用积分判别法，

$$\int_2^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}=\left[\ln\ln x\right]_2^{\infty}=\infty,$$

因此该级数发散。

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英文解析

1. $\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k$: The harmonic series diverges.

2. $\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}$: $p$-series with $p=2>1$, which converges.

3. $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k\ln k}$: Can be tested using the integral test,

$$\int_2^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}=\left[\ln\ln x\right]_2^{\infty}=\infty,$$

therefore the series diverges.