级数收敛性判断 无穷级数 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Which of the following series converge: ∑k=1∞1k;∑k=1∞1k2;∑k=2∞1kln(k)?\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k};\quad \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k^2};\quad \sum_{k = 2}^{\infty}\frac{1}{k\ln(k)}?k=1∑∞k1;k=1∑∞k21;k=2∑∞kln(k)1? 解析 ∑k=1∞1k\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k∑k=1∞k1：调和级数发散。 ∑k=1∞1k2\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}∑k=1∞k21：ppp 级数，p=2>1p=2>1p=2>1，收敛。 ∑k=2∞1klnk\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k\ln k}∑k=2∞klnk1：可用积分判别法， ∫2∞dxxlnx=[lnlnx]2∞=∞,\int_2^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}=\left[\ln\ln x\right]_2^{\infty}=\infty,∫2∞xlnxdx=[lnlnx]2∞=∞, 因此该级数发散。