不定积分： $\int (\ln x)^n dx$

Easy integration question 3

Evaluate

\int \log^{n}x dx.

解析

设 $I_n=\int (\ln x)^n\,dx$ （ $x>0$ ）。分部积分，取 $u=(\ln x)^n,\ dv=dx$ ，则 $du=\frac{n(\ln x)^{n-1}}{x}dx,\ v=x$ ：

I_n=x(\ln x)^n-n\int (\ln x)^{n-1}dx=x(\ln x)^n-nI_{n-1}.

递推展开可写成闭式：

\boxed{\int (\ln x)^n dx=x\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}(\ln x)^{n-k}+C}.