积分：∫0∞lnx1+x+x2dx\int_0^{\infty}\frac{\ln x}{1+x+x^2}dx∫0∞1+x+x2lnxdx Easy integration question 2 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Evaluate ∫0∞log(x)(1+x+x2)dx\int_{0}^{\infty}\frac{\log(x)}{(1 + x + x^{2})} d x∫0∞(1+x+x2)log(x)dx 解析 设 I=∫0∞lnx1+x+x2 dx.I=\int_0^{\infty}\frac{\ln x}{1+x+x^2}\,dx.I=∫0∞1+x+x2lnxdx. 作代换 x=1/tx=1/tx=1/t，dx=−dt/t2dx=-dt/t^2dx=−dt/t2，并注意 1+1t+1t2=(t2+t+1)/t21+\frac1t+\frac1{t^2}=(t^2+t+1)/t^21+t1+t21=(t2+t+1)/t2，则 I=∫0∞ln(1/t)1+1/t+1/t2⋅dtt2=∫0∞−lntt2+t+1 dt=−I.I=\int_0^{\infty}\frac{\ln(1/t)}{1+1/t+1/t^2}\cdot\frac{dt}{t^2} =\int_0^{\infty}\frac{-\ln t}{t^2+t+1}\,dt=-I.I=∫0∞1+1/t+1/t2ln(1/t)⋅t2dt=∫0∞t2+t+1−lntdt=−I. 因此 I=0\boxed{I=0}I=0。