积分：

设

$$I=\int_0^{\infty}\frac{\ln x}{1+x+x^2}\,dx.$$

作代换 $x=1/t$，$dx=-dt/t^2$，并注意 $1+\frac1t+\frac1{t^2}=(t^2+t+1)/t^2$，则

$$I=\int_0^{\infty}\frac{\ln(1/t)}{1+1/t+1/t^2}\cdot\frac{dt}{t^2} =\int_0^{\infty}\frac{-\ln t}{t^2+t+1}\,dt=-I.$$

因此 $\boxed{I=0}$。

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英文解析

Let
$$I=\int_0^{\infty}\frac{\ln x}{1+x+x^2}\,dx.$$
Perform the substitution $x=1/t$, $dx=-dt/t^2$, and note that $1+\frac1t+\frac1{t^2}=(t^2+t+1)/t^2$. Then
$$I=\int_0^{\infty}\frac{\ln(1/t)}{1+1/t+1/t^2}\cdot\frac{dt}{t^2} =\int_0^{\infty}\frac{-\ln t}{t^2+t+1}\,dt=-I.$$
Therefore $\boxed{I=0}$.