高斯积分： Easy integration question 1 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 收藏 标记掌握 个人笔记 题目详情 的值是多少 ∫−∞∞e−x2dx\int_{- \infty}^{\infty}e^{- x^{2}}dx∫−∞∞e−x2dx ? 英文原题 What is the value of ∫−∞∞e−x2dx\int_{- \infty}^{\infty}e^{- x^{2}}dx∫−∞∞e−x2dx ? 解析 令 I=∫−∞∞e−x2 dx.I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx.I=∫−∞∞e−x2dx. 则 I2=∫R2e−(x2+y2) dx dy.I^2=\int_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.I2=∫R2e−(x2+y2)dxdy. 改用极坐标 x=rcosθ,y=rsinθx=r\cos\theta,y=r\sin\thetax=rcosθ,y=rsinθ： I2=∫02π∫0∞e−r2r dr dθ=2π⋅12=π.I^2=\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}e^{-r^2}r\,dr\,d\theta =2\pi\cdot\frac12=\pi.I2=∫02π∫0∞e−r2rdrdθ=2π⋅21=π. 所以 I=π\boxed{I=\sqrt{\pi}}I=π。 英文解析 Let I=∫−∞∞e−x2 dx.I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx.I=∫−∞∞e−x2dx. Then I2=∫R2e−(x2+y2) dx dy.I^2=\int_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.I2=∫R2e−(x2+y2)dxdy. Using polar coordinates x=rcosθ,y=rsinθx=r\cos\theta,y=r\sin\thetax=rcosθ,y=rsinθ: I2=∫02π∫0∞e−r2r dr dθ=2π⋅12=π.I^2=\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}e^{-r^2}r\,dr\,d\theta =2\pi\cdot\frac12=\pi.I2=∫02π∫0∞e−r2rdrdθ=2π⋅21=π. Thus I=π\boxed{I=\sqrt{\pi}}I=π.