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已知三实根 r,s,tr,s,t，求 $\sum\frac{u

all real roots of the polynomial

专题
General / 综合
难度
L4

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设 r,s,tr,s,t 是多项式

P(x)=x3−2007x+2002P(x)=x^3-2007x+2002

的全部实根，求

r−1r+1+s−1s+1+t−1t+1.\frac{r-1}{r+1}+\frac{s-1}{s+1}+\frac{t-1}{t+1}.

Given that r,s,tr,s,t are all real roots of the polynomial

P(x)=x3−2007x+2002P(x) = x^{3} - 2007x + 2002

find the value r−1r+1+s−1s+1+t−1t+1\frac{r - 1}{r + 1} + \frac{s - 1}{s + 1} + \frac{t - 1}{t + 1}

解析

记

S=∑u∈{r,s,t}u−1u+1=∑(1−2u+1)=3−2∑1u+1.S=\sum_{u\in\{r,s,t\}}\frac{u-1}{u+1} =\sum\left(1-\frac{2}{u+1}\right)=3-2\sum\frac{1}{u+1}.

令 y=u+1y=u+1，即考虑 Q(y)=P(y−1)Q(y)=P(y-1) 的根为 r+1,s+1,t+1r+1,s+1,t+1。

计算：

Q(y)=(y−1)3−2007(y−1)+2002=y3−3y2−2004y+4008.Q(y)=(y-1)^3-2007(y-1)+2002 = y^3-3y^2-2004y+4008.

设其根为 y1,y2,y3y_1,y_2,y_3，则（韦达）

∑i<jyiyj=−2004,y1y2y3=−4008.\sum_{i<j}y_iy_j=-2004,\quad y_1y_2y_3=-4008.

因此

∑1yi=∑i<jyiyjy1y2y3=−2004−4008=12.\sum\frac1{y_i}=\frac{\sum_{i<j}y_iy_j}{y_1y_2y_3}=\frac{-2004}{-4008}=\frac12.

故

S=3−2⋅12=2.S=3-2\cdot\frac12=\boxed{2}.