求方程 $x^6=64$ 的全部根

Find all of the roots to the equation $x^{6} = 64$

求方程 $x^{6}=64$ 的全部根（包含复根）。

Find all of the roots to the equation $x^{6} = 64$ (including the complex roots).

解析

写成复数形式：

64=2^6\,e^{i2\pi m},\quad m\in\mathbb{Z}.

取六次方根得

x=2\,e^{i\frac{2\pi m}{6}}=2e^{i\frac{m\pi}{3}},\quad m=0,1,2,3,4,5.

所以六个根为

\boxed{2,\ 1+i\sqrt3,\ -1+i\sqrt3,\ -2,\ -1-i\sqrt3,\ 1-i\sqrt3}.