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海伦公式（Heron's Formula）证明

Helen Formula

专题
General / 综合
难度
L4

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证明三角形面积满足

A=s(s−a)(s−b)(s−c),A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},

其中 a,b,ca,b,c 为三边长，s=a+b+c2s=\frac{a+b+c}{2} 为半周长。

Prove that the area of a triangle is given by

A=s(s−a)(s−b)(s−c),A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)},

, where a,ba, b and cc are the side lengths, and s≡a+b+c2s \equiv \frac{a + b + c}{2} is half the perimeter.

解析

设角 CC 夹在边 aa 与 bb 之间，对应对边为 cc。则面积

A=12absin⁡C.A=\frac12 ab\sin C.

由余弦定理

cos⁡C=a2+b2−c22ab.\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.

因此

sin⁡2C=1−cos⁡2C=1−(a2+b2−c22ab)2.\sin^2 C=1-\cos^2 C=1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2.

代回得

A2=14a2b2[1−(a2+b2−c22ab)2]=116(4a2b2−(a2+b2−c2)2).A^2=\frac14 a^2 b^2\left[1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2\right] =\frac{1}{16}\left(4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2\right).

把右侧展开并整理，可因式分解为

A2=116(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c).A^2=\frac{1}{16}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c).

注意

(a+b+c)=2s,(−a+b+c)=2(s−a),(a−b+c)=2(s−b),(a+b−c)=2(s−c),(a+b+c)=2s,\quad (-a+b+c)=2(s-a),\quad (a-b+c)=2(s-b),\quad (a+b-c)=2(s-c),

因此

A2=s(s−a)(s−b)(s−c),A^2=s(s-a)(s-b)(s-c),

从而

A=s(s−a)(s−b)(s−c).\boxed{A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}.