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点到三边距离和的期望

he expected value of the sum of perpendicular distance

专题
Probability / 概率
难度
L4

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三角形 ABCABC 的三边长为 45、60、75。均匀随机在三角形内部取一点 XX。

求点 XX 到三边的垂直距离之和的期望值。

Triangle ABC has sides of length 45, 60 and 75. A point X is placed randomly and uniformly inside the triangle. What is the expected value of the sum of perpendicular distance from point X to this triangle’s three sides?

解析

对任意内点 XX，令 da,db,dcd_a,d_b,d_c 分别为 XX 到边长为 a,b,ca,b,c 的三边的垂距，则三角形面积可分解为三个小三角形面积之和：

A=12ada+12bdb+12cdc.A=\frac12 a d_a+\frac12 b d_b+\frac12 c d_c.

对均匀随机点，点到某一条边的距离 dad_a 与“对边小三角形面积”成正比，而面积比的期望等于 1/31/3，因此

E[da]=2A3a=ha3,\mathbb{E}[d_a]=\frac{2A}{3a}=\frac{h_a}{3},

其中 hah_a 为对边 aa 的高。对 b,cb,c 同理，所以

E[da+db+dc]=ha+hb+hc3.\mathbb{E}[d_a+d_b+d_c]=\frac{h_a+h_b+h_c}{3}.

本题 45-60-75 为直角三角形（比例 3-4-5），面积

A=12⋅45⋅60=1350.A=\frac12\cdot 45\cdot 60=1350.

对应三条高：

h45=2A45=60,h60=2A60=45,h75=2A75=36.h_{45}=\frac{2A}{45}=60,\quad h_{60}=\frac{2A}{60}=45,\quad h_{75}=\frac{2A}{75}=36.

因此

E[da+db+dc]=60+45+363=47.\mathbb{E}[d_a+d_b+d_c]=\frac{60+45+36}{3}=\boxed{47}.