质数题：无穷多质数、相邻质数均值、以及 $24\mid(

(1)（欧几里得）假设质数只有有限多个 $p_1,\ldots,p_n$。令

$$N=p_1p_2\cdots p_n+1.$$

则 $N$ 除以任意 $p_i$ 都余 1，因此不被任何 $p_i$ 整除。于是 $N$ 要么本身是质数，要么有某个不在列表中的质因子，矛盾。故质数无穷多。

(2) 不可能。

除 2 以外质数都为奇数，因此两个相邻质数（都大于 2）为奇数，均值

$$\frac{p+q}{2}$$

是介于 $p$ 与 $q$ 之间的整数。若它是质数，则它是位于 $p$ 与 $q$ 之间的质数，与“相邻质数”矛盾。

(3) 对 $p\ge 5$ 的质数，$p$ 为奇数且不被 3 整除。

• 模 8：任意奇数 $p\equiv 1,3,5,7\pmod 8$，平方都满足 $p^2\equiv 1\pmod 8$，所以 $8\mid(p^2-1)$。
• 模 3：因为 $p\not\equiv 0\pmod 3$，所以 $p\equiv \pm 1\pmod 3$，从而 $p^2\equiv 1\pmod 3$，所以 $3\mid(p^2-1)$。

又 $\mathrm{lcm}(8,3)=24$，因此 $\boxed{24\mid(p^2-1)}$。