最小正整数：除以 2..10 余数依次为 1..9

Find the smallest positive integer

专题: Brainteaser / 脑筋急转弯
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

求最小的正整数 $n$ ，使得：

$n$ 除以 2 余 1；
$n$ 除以 3 余 2；
$n$ 除以 4 余 3；

……一直到 $n$ 除以 10 余 9。

Find the smallest positive integer that leaves a remainder of 1 when divided by 2, a remainder of 2 when divided by 3, a remainder of 3 when divided by 4, .. and a remainder of 9 when divided by 10.

解析

题意为对每个 $k=2,3,\ldots,10$ 都有

n\equiv k-1\equiv -1\pmod k.

因此 $n+1$ 同时被 2 到 10 的所有整数整除，即

n+1\text{ 是 }\mathrm{lcm}(2,3,\ldots,10)=2520\text{ 的倍数}.

最小正解取 $n+1=2520$ ，得到

\boxed{n=2519}.