2 的幂估算

Consider $2^{42}$

专题: Brainteaser / 脑筋急转弯
难度: L4
来源: QuantQuestion

个人笔记

题目详情

考虑 $2^{42}$ ：

十进制表示的首位数字（leading term）是什么？
数量级（order of magnitude）是多少？
首位之后的下一位有效数字是什么？

英文原题

Consider $2^{42}$ :

What is the leading term in the decimal representation?
What is the order of magnitude?
What is the next significant figure after the leading term?

解析

先用已知 $2^{10}=1024$ ，则 $2^{20}=1048576$ ，并且

2^{40}=(2^{20})^2=1099511627776.

因此

2^{42}=4\cdot 2^{40}=4398046511104.

于是：

首位数字为 $\boxed{4}$ 。
$2^{42}=4.398\times 10^{12}$ ，数量级为 $\boxed{10^{12}}$ 。
下一位有效数字为 $\boxed{3}$ 。

英文解析

First, using the known value $2^{10}=1024$ , we have $2^{20}=1048576$ , and

2^{40}=(2^{20})^2=1099511627776.

Therefore,

2^{42}=4\cdot 2^{40}=4398046511104.

Thus:

The leading digit is $\boxed{4}$ .
$2^{42}=4.398\times 10^{12}$ , so the order of magnitude is $\boxed{10^{12}}$ .
The next significant digit is $\boxed{3}$ .