泰勒展开

1. 用欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，得 $i=e^{i\pi/2}$，因此 $\ln i=i\pi/2$，于是

$$\ln(i^i)=i\ln i=i(i\pi/2)=-\pi/2\Rightarrow i^i=e^{-\pi/2}.$$

2. 令 $f(x)=(1+x)^n$，在 0 处泰勒展开：

$$f(x)=1+nx+\frac{n(n-1)(1+\tilde x)^{n-2}}{2}x^2,$$

其中 $\tilde x$ 介于 0 与 $x$。因为 $x>-1$ 且 $n\ge2$，余项非负，故 $f(x)\ge 1+nx$。

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英文解析

Use Euler’s formula $e^{\,i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta.$ Then $\ln i = \ln(e^{\,i\pi/2})=i\pi/2,$ giving
$$\ln(i^i) = i\,\ln i = i\,(i\pi/2) = -\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad i^i = e^{-\pi/2}.$$

Let $f(x)=(1+x)^n.$ Its Taylor expansion at $x=0$:
$$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(\tilde{x})}{2!}\,x^2 = 1 + n\,x + \frac{n(n-1)\,(1+\tilde{x})^{n-2}}{2}\,x^2,$$
where $\tilde{x}$ is between 0 and $x.$ Because $n\ge2,$ the remainder term is nonnegative, hence $(1+x)^n\ge1+nx.$

$$