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牛顿法：求 37\sqrt{37}

Newton’s Method

专题
General / 综合
难度
L4

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  1. 用牛顿迭代法求 37\sqrt{37}（保留三位小数）。

  2. 还能用哪些方法求解 f(x)=0f(x)=0？

Newton’s iteration to solve f(x)=0f(x)=0: >xn+1>=xn>− f(xn)  f′(xn) .>> x_{n+1} > = x_n > - \frac{\,f(x_n)\,}{\,f'(x_n)\,}. >

  1. For instance, solve x2=37x^2=37 (to three decimals).

  2. Other methods for f(x)=0f(x)=0?

解析
  1. 令 f(x)=x2−37f(x)=x^2-37，f′(x)=2xf'(x)=2x。取初值 x0=6x_0=6，
xn+1=xn−xn2−372xn.x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-37}{2x_n}.

迭代得 x1≈6.083x_1\approx 6.083，继续迭代收敛到 37≈6.083\sqrt{37}\approx 6.083（三位小数）。

  1. 常见方法：二分法（bisection）、割线法（secant）。

Original Explanation

  1. f(x)=x2−37,f(x)=x^2-37, f′(x)=2x,f'(x)=2x, starting x0=6.x_0=6. Then x1=6−62−372×6=6.083,…x_1 = 6 - \frac{6^2-37}{2\times 6} = 6.083,\dots

  • Bisection
  • Secant method