正方形与圆内的均匀采样

Uniform Sampling in a Square and Circle

(a) 如何用两个相互独立的均匀样本 $U_1,U_2\sim U(0,1)$ 生成一个落在正方形内的均匀点？

(b) 如何用它们生成单位圆内的均匀点？

(a) How can you use two independent uniform samples $U_1, U_2 \sim U(0,1)$ to generate a point uniformly inside a square?

(b) How can you use them to generate a point uniformly inside a unit circle?

解析

(a) 直接取点 $(U_1,U_2)$ ，它在单位正方形 $[0,1]^2$ 上均匀。

(b) 一种常用方法是极坐标变换：取

\Theta=2\pi U_1,\quad R=\sqrt{U_2},

则 $(R\cos\Theta, R\sin\Theta)$ 在单位圆盘内均匀。

（也可用拒绝采样：先生成 $(2U_1-1,2U_2-1)$ 在 $[-1,1]^2$ 上均匀，若落在圆外则重抽。）

(c) 可以。在理论上，一个 $U\sim U(0,1)$ 含有无限位随机性，可以把其二进制展开的奇偶位拆成两个独立的 $U(0,1)$ （除去一组测度为 0 的二进制表示不唯一点），从而再用 (b) 的方法生成圆内均匀点。