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最大化夏普比率的最优权重

Maximizing Sharpe Ratio

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

有两只相互独立的股票 A、B，其收益分别为 RA∼N(μ,σ2)R_A\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)、RB∼N(μ,2σ2)R_B\sim\mathcal{N}(\mu,2\sigma^2)。两者期望收益相同，但 B 更“风险大”。

你构造组合：在 B 上权重为 ww，在 A 上权重为 1−w1-w。假设无风险利率为 0，求使组合夏普比率最大化的最优 ww。

You have two independent stocks, A and B. Their returns are RA∼N(μ,σ2)R_A \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) and RB∼N(μ,2σ2)R_B \sim \mathcal{N}(\mu, 2\sigma^2). They have the same expected return but B is riskier. You form a portfolio with weight ww in Stock B and (1−w)(1-w) in Stock A. Assuming a zero risk-free rate, what is the optimal weight ww that maximizes the portfolio's Sharpe ratio?

解析

组合收益 Rp=(1−w)RA+wRBR_p=(1-w)R_A+wR_B。

期望收益

E[Rp]=(1−w)μ+wμ=μ,\mathbb{E}[R_p]=(1-w)\mu+w\mu=\mu,

与 ww 无关。

由于独立，方差为

Var(Rp)=(1−w)2σ2+w2⋅2σ2=σ2[(1−w)2+2w2].\mathrm{Var}(R_p)=(1-w)^2\sigma^2+w^2\cdot 2\sigma^2=\sigma^2\big[(1-w)^2+2w^2\big].

夏普比率（无风险利率为 0）为

S(w)=μσ(1−w)2+2w2.S(w)=\frac{\mu}{\sigma\sqrt{(1-w)^2+2w^2}}.

因此只需最小化 f(w)=(1−w)2+2w2=3w2−2w+1f(w)=(1-w)^2+2w^2=3w^2-2w+1。

f′(w)=6w−2=0⇒w=13.f'(w)=6w-2=0\Rightarrow w=\frac{1}{3}.

最优为 w=13\boxed{w=\frac{1}{3}}（即 A: 2/32/3，B: 1/31/3）。