等到更高的人：期望等待人数

Waiting for a Taller Person

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

从一个很大的人群中随机抽取一人并记录身高 $X$ 。随后继续独立抽取人，直到找到一个身高严格高于 $X$ 的人。

令 $N$ 为需要额外抽取的人数。假设身高独立同分布，求 $\mathbb{E}[N]$ 。

You randomly select a person from a large population and record their height $X$ . Then you keep selecting people until you find someone taller than the first person. Let $N$ be the number of additional people you need to sample. What is the expected value of $N$ , assuming heights are i.i.d.?

解析

给定第一人的身高为 $X=x$ ，记分布函数为 $F$ ，则后续每次抽到更高者的成功概率为

p=\mathbb{P}(X'>x)=1-F(x).

$N$ （“成功前的失败次数”）服从几何分布，条件期望为

\mathbb{E}[N\mid X=x]=\frac{1-p}{p}=\frac{F(x)}{1-F(x)}.

令 $U=F(X)$ 。在连续分布下， $U\sim U(0,1)$ ，因此

\mathbb{E}[N]=\mathbb{E}\left[\frac{U}{1-U}\right]=\int_0^1\frac{u}{1-u}\,du=\infty.

所以 $\boxed{\mathbb{E}[N]=\infty}$ 。