洛必达法则：两个极限 L'Hospital's Rule 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 计算： limx→∞exx2\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}x→∞limx2ex； limx→0+x2lnx\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln xx→0+limx2lnx。 Evaluate limx→∞exx2.\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}.x→∞limx2ex. limx→0+x2lnx.\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x.x→0+limx2lnx. 解析 指数增长快于多项式： limx→∞exx2=∞.\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\infty.x→∞limx2ex=∞. 写成商并用洛必达： limx→0+x2lnx=limx→0+lnxx−2=limx→0+1/x−2x−3=limx→0+−x22=0.\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x =\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{x^{-2}} =\lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-2x^{-3}} =\lim_{x\to 0^+}-\frac{x^2}{2}=0.x→0+limx2lnx=x→0+limx−2lnx=x→0+lim−2x−31/x=x→0+lim−2x2=0. Original Explanation limx→∞exx2=limx→∞ex2x=limx→∞ex2=∞.\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2} = \lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x} = \lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{2} = \infty.x→∞limx2ex=x→∞lim2xex=x→∞lim2ex=∞. limx→0+x2lnx=limx→0+lnx x−2 =limx→0+1x−2 x−3=limx→0+x2−2=0.\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x = \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\,x^{-2}\,} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-2\,x^{-3}} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x^2}{-2} = 0.x→0+limx2lnx=x→0+limx−2lnx=x→0+lim−2x−3x1=x→0+lim−2x2=0.