比较 $e^{\pi}$ 与 $\pi^e$

比较对数：$e^{\pi}>\pi^e$ 等价于 $\pi>e\ln\pi$。

令 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$，则

$$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

所以 $f$ 在 $x=e$ 处取最大值 $1/e$，且在 $(e,\infty)$ 上递减。由于 $\pi>e$，

$$\frac{\ln\pi}{\pi}<\frac{1}{e}\Rightarrow e\ln\pi<\pi\Rightarrow e^{\pi}>\pi^e.$$

---

Original Explanation

Compare $\pi\ln e$ with $e\ln \pi$. Define $f(x)=\frac{\ln x}{x}$. Then $$f'(x)=\frac{1-\ln x}{\,x^2\,}.$$ For $x>e,$ we have $\ln x>1,$ so $f'(x)<0,$ meaning $f$ is decreasing on $(e,\infty).$ Since $\pi>e,$ $$\frac{\ln e}{e} < \frac{\ln\pi}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad e^\pi > \pi^e.$$