循环移位乘以 4

设原数为 $N=10k+4$，其中 $k$ 有 $m$ 位（即 $0\le k<10^m$）。移位后得到

$$N'=4\cdot 10^m+k.$$

题意为 $N'=4N$：

$$4\cdot 10^m+k=4(10k+4)=40k+16 \Rightarrow 4(10^m-4)=39k.$$

因 $\gcd(4,39)=1$，需 $39\mid (10^m-4)$。计算模 39：

$$10^1\equiv 10,\ 10^2\equiv 22,\ 10^3\equiv 25,\ 10^4\equiv 16,\ 10^5\equiv 4\pmod{39}.$$

故最小 $m=5$。

于是

$$k=\frac{4(10^5-4)}{39}=4\cdot 2564=10256,$$

所以

$$N=10k+4=102564.$$

验证：$410256=4\times 102564$。

答案为 $\boxed{102564}$。

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英文解析

The original number is $N=10k+4$, of which $k$has $m$(that is, $0\le k<10^m$). Obtained after displacement

$$N'=4\cdot 10^m+k.$$

The title is $N'=4N$:

$$4\cdot 10^m+k=4(10k+4)=40k+16 \Rightarrow 4(10^m-4)=39k.$$

Because $\gcd(4,39)=1$, $39\mid (10^m-4)$is required. Computational Module 39:

$$10^1\equiv 10,\10^2\equiv 22,\10^3\equiv 25,\10^4\equiv 16,\10^5\equiv 4\pmod{39}.$$

So the minimum is $m=5$.

as a result

$$k=\frac{4(10^5-4)}{39}=4\cdot 2564=10256,$$

So

$$N=10k+4=102564.$$

Verification: $410256=4\times 102564$.

The answer is $\boxed{102564}$.