柯西-施瓦茨不等式

不等式陈述（实向量情形）：对任意 $u,v\in\mathbb{R}^n$，

$$|u\cdot v|\le \|u\|\,\|v\|.$$

证明：考虑关于实数 $t$ 的二次函数

$$\phi(t)=\|u-tv\|^2=(u-tv)\cdot(u-tv)=\|u\|^2-2t(u\cdot v)+t^2\|v\|^2.$$

由于平方范数恒非负，对所有 $t$ 都有 $\phi(t)\ge 0$。因此该二次式判别式不大于 0：

$$\Delta=4(u\cdot v)^2-4\|u\|^2\|v\|^2\le 0.$$

即

$$(u\cdot v)^2\le \|u\|^2\|v\|^2 \Rightarrow |u\cdot v|\le \|u\|\,\|v\|.$$

证毕。

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英文解析

Inequality statement (real vector case): For any $u,v\in\mathbb{R}^n$,

$$|u\cdot v|\le \|u\|\,\|v\|.$$

Proof: Consider the quadratic function for the real number $t$

$$\phi(t)=\|u-tv\|^2=(u-tv)\cdot(u-tv)=\|u\|^2-2t(u\cdot v)+t^2\|v\|^2.$$

All $t$ have $\phi(t)\ge 0$ due to the constant nonnegative square norm. Therefore, the quadratic discriminant is not greater than 0:

$$\Delta=4(u\cdot v)^2-4\|u\|^2\|v\|^2\le 0.$$

so

$$(u\cdot v)^2\le \|u\|^2\|v\|^2 \Rightarrow |u\cdot v|\le \|u\|\,\|v\|.$$

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