和超阈 I

对 $t\in(0,1)$，有

$$P(N>n)=P(S_n\le t),\quad S_n=X_1+\cdots+X_n.$$

而 $S_n\le t$ 在单位立方体中对应单纯形体积，故

$$P(S_n\le t)=\frac{t^n}{n!}.$$

于是尾和公式给出

$$\mathbb{E}[N]=\sum_{n=0}^{\infty}P(N>n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}=e^t.$$

代入 $t=\ln 2$ 得

$$\mathbb{E}[N]=e^{\ln 2}=2.$$

答案为 $\boxed{2}$。

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英文解析

For $t\in(0,1)$, yes

$$P(N>n)=P(S_n\le t),\quad S_n=X_1+\cdots+X_n.$$

And $S_n\le t$ corresponds to the simplex volume in the unit cube, so

$$P(S_n\le t)=\frac{t^n}{n!}.$$

So the tail sum formula gives

$$\mathbb{E}[N]=\sum_{n=0}^{\infty}P(N>n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}=e^t.$$

Substitute $t=\ln 2$ to get

$$\mathbb{E}[N]=e^{\ln 2}=2.$$

The answer is $\boxed{2}$.