和超阈 I

Sum Exceedance I

设 $X_1,X_2,\ldots$ 为独立同分布的 $\mathrm{Unif}(0,1)$ 随机变量，并定义

N=\min\{n:X_1+\cdots+X_n>\ln 2\}.

求 $\mathbb{E}[N]$ 。

Let $X_1, X_2, \ldots$ be IID Unif $(0,1)$ random variables and let

N = \text{min}\{n : X_1 + \dots + X_n > \ln(2)\}.

Find $\mathbb{E}[N].$

解析

对 $t\in(0,1)$ ，有

P(N>n)=P(S_n\le t),\quad S_n=X_1+\cdots+X_n.

而 $S_n\le t$ 在单位立方体中对应单纯形体积，故

P(S_n\le t)=\frac{t^n}{n!}.

于是尾和公式给出

\mathbb{E}[N]=\sum_{n=0}^{\infty}P(N>n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}=e^t.

代入 $t=\ln 2$ 得

\mathbb{E}[N]=e^{\ln 2}=2.

答案为 $\boxed{2}$ 。