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蒙特卡洛模拟

Monte Carlo simulation

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

A. 如何用蒙特卡洛（Monte Carlo）定价欧式看涨？

B. 如果只能生成 Uniform(0,1)\mathrm{Uniform}(0,1)，如何生成 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)？

C. 有哪些常见的方差缩减（variance reduction）技巧？

D. 没有闭式解时，如何估计 Delta / Gamma？

E. 如何用蒙特卡洛估计 π\pi？

A. Price a European call with Monte Carlo?

B. Generate N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) if only uniform(0,1) is available?

C. Variance reduction techniques?

D. No closed form => how to estimate delta/gamma?

E. Estimate π\pi with Monte Carlo?

解析

A. 在风险中性测度下模拟 MM 条路径得到 ST,kS_{T,k}，则看涨期权价格为

Call=e−r(T−t)⋅1M∑k=1Mmax⁡(ST,k−K,0).\mathrm{Call}=e^{-r(T-t)}\cdot\frac{1}{M}\sum_{k=1}^M\max(S_{T,k}-K,0).

B.

  1. 先用 Box–Muller、接受-拒绝等方法生成 Z∼N(0,1)Z\sim N(0,1)；
  2. 输出 μ+σZ\mu+\sigma Z。

C. 常见方法：

  • 对偶变量（antithetic）：用 ϵ\epsilon 和 −ϵ-\epsilon。
  • 控制变量（control variate）：选一个相关且有已知价格的量来校正估计。
  • 重要性采样（importance sampling）：在对 payoff 贡献大的区域多采样。
  • 矩匹配（moment matching）：强制样本均值/方差贴近理论值。
  • 低差异序列（low-discrepancy）：准蒙特卡洛（quasi-MC）。

D. 用同一组随机数种子做有限差分：

Δ≈f(S+δS)−f(S−δS)2 δS,Γ≈(f(S+δS)−f(S))−(f(S)−f(S−δS))(δS)2.\Delta\approx\frac{f(S+\delta S)-f(S-\delta S)}{2\,\delta S},\quad \Gamma\approx\frac{(f(S+\delta S)-f(S))-(f(S)-f(S-\delta S))}{(\delta S)^2}.

E. 在单位正方形 [0,1]2[0,1]^2 上均匀采样 (x,y)(x,y)，落在四分之一圆 x2+y2≤1x^2+y^2\le1 内的概率为 π/4\pi/4，所以用命中比例乘以 4 即可估计 π\pi。

Original Explanation

AnswerA: Simulate MM paths ST,kS_{T,k} under GBM in risk-neutral measure. The call price is Call=e−r(T−t)  1M∑k=1Mmax⁡(ST,k−K, 0).\mathrm{Call} = e^{-r(T-t)}\;\frac{1}{M}\sum_{k=1}^M \max(S_{T,k}-K,\,0).

AnswerB:

  1. Generate Z∼N(0,1)Z\sim N(0,1) using (Box-Muller, acceptance-rejection, etc.).
  2. Output μ+σZ\mu+\sigma Z.

AnswerC:

  • Antithetic: use ϵ\epsilon and −ϵ-\epsilon.
  • Control variate: find a related derivative w/ known price, correct the estimate.
  • Importance sampling: sample from a distribution that places more weight in payoffs’ significant region.
  • Moment matching: force sample means, variances to match the theoretical distribution.
  • Low-discrepancy: quasi-Monte Carlo sequences.

AnswerD:
Finite difference around S±δSS\pm\delta S. Use the same random seeds.
Δ≈f(S+δS)−f(S−δS) 2 δS ,Γ≈(f(S+δS)−f(S))−(f(S)−f(S−δS))(δS)2.\Delta \approx \frac{f(S+\delta S)-f(S-\delta S)}{\,2\,\delta S\,},\quad \Gamma \approx \frac{(f(S+\delta S)-f(S))-(f(S)-f(S-\delta S))}{(\delta S)^2}.

AnswerE:
Sample (x,y)(x,y) uniform in [0,1]×[0,1][0,1]\times[0,1]. Probability inside quarter circle x2+y2≤1x^2+y^2 \le1 is π/4\pi/4. So multiply ratio by 4.