带漂移布朗的最大值不超过阈值

$W_{t}$ is a standard Brownian

If $W_{t}$ is a standard Brownian motion and $b$ and $\alpha$ are positive real numbers, calculate

\mathbb{P}\left(\max_{0\leq t\leq T}\{W_t + bt\} \leq \alpha\right)

解析

设 $X_t=W_t+bt$ ，求

\mathbb{P}\left(\max_{0\le s\le T}X_s\le \alpha\right).

这是带漂移布朗运动的反射原理结果（也可用 Girsanov 将漂移去掉后再反射）。标准闭式为

\boxed{\mathbb{P}\left(\max_{0\le s\le T}(W_s+bs)\le \alpha\right)= \Phi\left(\frac{\alpha-bT}{\sqrt{T}}\right)-e^{2b\alpha}\,\Phi\left(\frac{-\alpha-bT}{\sqrt{T}}\right)}

其中 $\Phi$ 为标准正态分布函数。