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带漂移布朗的最大值不超过阈值

WtW_{t} is a standard Brownian

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

金融数学题：带漂移布朗的最大值不超过阈值。

英文原题

If WtW_{t} is a standard Brownian motion and bb and α\alpha are positive real numbers, calculate

P(max⁡0≤t≤T{Wt+bt}≤α)\mathbb{P}\left(\max_{0\leq t\leq T}\{W_t + bt\} \leq \alpha\right)
解析

设 Xt=Wt+btX_t=W_t+bt，求

P(max⁡0≤s≤TXs≤α).\mathbb{P}\left(\max_{0\le s\le T}X_s\le \alpha\right).

这是带漂移布朗运动的反射原理结果（也可用 Girsanov 将漂移去掉后再反射）。标准闭式为

P(max⁡0≤s≤T(Ws+bs)≤α)=Φ(α−bTT)−e2bα Φ(−α−bTT)\boxed{\mathbb{P}\left(\max_{0\le s\le T}(W_s+bs)\le \alpha\right)= \Phi\left(\frac{\alpha-bT}{\sqrt{T}}\right)-e^{2b\alpha}\,\Phi\left(\frac{-\alpha-bT}{\sqrt{T}}\right)}

其中 Φ\Phi 为标准正态分布函数。

英文解析

P(max⁡0≤s≤TXs≤α).\mathbb{P}\left(\max_{0\le s\le T}X_s\le \alpha\right). P(max⁡0≤s≤T(Ws+bs)≤α)=Φ(α−bTT)−e2bα Φ(−α−bTT)\boxed{\mathbb{P}\left(\max_{0\le s\le T}(W_s+bs)\le \alpha\right)= \Phi\left(\frac{\alpha-bT}{\sqrt{T}}\right)-e^{2b\alpha}\,\Phi\left(\frac{-\alpha-bT}{\sqrt{T}}\right)}