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证明指数鞅；给出一个例子

Prove martingales

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

Let XtX_{t} be such that dXt=θ(t)dt+dWtdX_{t} = \theta (t)dt + dW_{t} , where θ(s)\theta (s) is a bounded function. Let

Dt=e−∫0tθ(s)dWs−12∫0tθ2(s)ds.D_{t} = e^{-\int_{0}^{t}\theta (s)dW_{s} - \frac{1}{2}\int_{0}^{t}\theta^{2}(s)ds}.

Prove that DtD_{t} and Zt=XtDtZ_{t} = X_{t}D_{t} are martingales. Use this to show that (Wt+t)e−Wt−12t(W_{t} + t)e^{- W_{t} - \frac{1}{2} t} is a martingale.

解析

给定 dXt=θ(t)dt+dWtdX_t=\theta(t)dt+dW_t（θ\theta 有界），定义

Dt=exp⁡(−∫0tθ(s)dWs−12∫0tθ(s)2ds).D_t=\exp\left(-\int_0^t \theta(s)dW_s-\frac12\int_0^t\theta(s)^2ds\right).

对 Yt=−∫0tθ(s)dWs−12∫0tθ(s)2dsY_t=-\int_0^t\theta(s)dW_s-\frac12\int_0^t\theta(s)^2ds 用 Itô 作用于 eYte^{Y_t}，得到

dDt=−θ(t)Dt dWt,dD_t=-\theta(t)D_t\,dW_t,

无漂移，故 Dt\boxed{D_t} 为鞅。

再用二维 Itô（积公式）对 Zt=XtDtZ_t=X_tD_t：

d(XtDt)=XtdDt+DtdXt+d⟨X,D⟩t,d(X_tD_t)=X_t dD_t+D_t dX_t+d\langle X,D\rangle_t,

其中交叉变差项恰好抵消漂移，最终得到无漂移形式，故 Zt\boxed{Z_t} 亦为鞅。

取特例 θ≡1\theta\equiv 1，则 Xt=Wt+tX_t=W_t+t，对应

(Wt+t)e−Wt−12t 是鞅.\boxed{(W_t+t)e^{-W_t-\frac12 t}}\ \text{是鞅}.