OU：求 E[rt3]\mathbb{E}[r_t^3]E[rt3] Evaluate E 专题 Finance / 金融 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Assume that drt=(μ−αrt)dt+σdWtd r_{t} = (\mu - \alpha r_{t}) d t + \sigma d W_{t}drt=(μ−αrt)dt+σdWt . If r0=0r_{0} = 0r0=0 , evaluate E[rt3]\mathbb{E}\left[r_{t}^{3}\right]E[rt3] . 解析 SDE：drt=(μ−αrt)dt+σdWtdr_t=(\mu-\alpha r_t)dt+\sigma dW_tdrt=(μ−αrt)dt+σdWt，r0=0r_0=0r0=0。 这是 OU，因此 rtr_trt 服从正态分布，均值与方差为 m(t)=E[rt]=μα(1−e−αt),m(t)=\mathbb{E}[r_t]=\frac{\mu}{\alpha}(1-e^{-\alpha t}),m(t)=E[rt]=αμ(1−e−αt), v(t)=Var(rt)=σ22α(1−e−2αt).v(t)=\operatorname{Var}(r_t)=\frac{\sigma^2}{2\alpha}(1-e^{-2\alpha t}).v(t)=Var(rt)=2ασ2(1−e−2αt). 正态的三阶矩：E[X3]=m3+3mv\mathbb{E}[X^3]=m^3+3mvE[X3]=m3+3mv，所以 E[rt3]=m(t)3+3m(t)v(t).\boxed{\mathbb{E}[r_t^3]=m(t)^3+3m(t)v(t)}.E[rt3]=m(t)3+3m(t)v(t).