OU 三阶矩

SDE：$dr_t=(\mu-\alpha r_t)dt+\sigma dW_t$，$r_0=0$。

这是 OU，因此 $r_t$ 服从正态分布，均值与方差为

$$m(t)=\mathbb{E}[r_t]=\frac{\mu}{\alpha}(1-e^{-\alpha t}),$$ $$v(t)=\operatorname{Var}(r_t)=\frac{\sigma^2}{2\alpha}(1-e^{-2\alpha t}).$$

正态的三阶矩：$\mathbb{E}[X^3]=m^3+3mv$，所以

$$\boxed{\mathbb{E}[r_t^3]=m(t)^3+3m(t)v(t)}.$$

---

英文解析

SDE：$dr_t=(\mu-\alpha r_t)dt+\sigma dW_t$，$r_0=0$。

$$m(t)=\mathbb{E}[r_t]=\frac{\mu}{\alpha}(1-e^{-\alpha t}),$$ $$v(t)=\operatorname{Var}(r_t)=\frac{\sigma^2}{2\alpha}(1-e^{-2\alpha t}).$$ $$\boxed{\mathbb{E}[r_t^3]=m(t)^3+3m(t)v(t)}.$$