解 SDE：是否为布朗桥

SDE（$t<1$）：

$$dX_t=-\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t,\quad X_0=0.$$

取积分因子 $\mu(t)=\frac{1}{1-t}$，令 $Y_t=\frac{X_t}{1-t}$，则

$$dY_t=\frac{1}{1-t}dW_t.$$

因此

$$\boxed{X_t=(1-t)\int_0^t\frac{1}{1-u}dW_u}.$$

均值：$\mathbb{E}[X_t]=0$。

方差：

$$\boxed{\operatorname{Var}(X_t)=(1-t)^2\int_0^t\frac{1}{(1-u)^2}du=t(1-t)}.$$

协方差（$0<s<t<1$）：

$$\boxed{\operatorname{Cov}(X_s,X_t)=s(1-t)}.$$

这与从 0 到 0、终点在 1 的布朗桥协方差 $\min(s,t)-st$ 一致，因此 $\boxed{X_t}$ 是布朗桥。