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SDE 解析 6

Solve the SDE 6

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

金融数学题：解 SDE：是否为布朗桥。

英文原题

For t<1t< 1 , solve the stochastic differential equation

dXt=−Xt1−tdt+dWtdX_{t} = -\frac{X_{t}}{1 - t} dt + dW_{t}

with X0=0X_0 = 0 . Compute the mean and covariance functions of XtX_{t} . Is XtX_{t} a Brownian bridge?

解析

SDE（t<1t<1）：

dXt=−Xt1−tdt+dWt,X0=0.dX_t=-\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t,\quad X_0=0.

取积分因子 μ(t)=11−t\mu(t)=\frac{1}{1-t}，令 Yt=Xt1−tY_t=\frac{X_t}{1-t}，则

dYt=11−tdWt.dY_t=\frac{1}{1-t}dW_t.

因此

Xt=(1−t)∫0t11−udWu.\boxed{X_t=(1-t)\int_0^t\frac{1}{1-u}dW_u}.

均值：E[Xt]=0\mathbb{E}[X_t]=0。

方差：

Var⁡(Xt)=(1−t)2∫0t1(1−u)2du=t(1−t).\boxed{\operatorname{Var}(X_t)=(1-t)^2\int_0^t\frac{1}{(1-u)^2}du=t(1-t)}.

协方差（0<s<t<10<s<t<1）：

Cov⁡(Xs,Xt)=s(1−t).\boxed{\operatorname{Cov}(X_s,X_t)=s(1-t)}.

这与从 0 到 0、终点在 1 的布朗桥协方差 min⁡(s,t)−st\min(s,t)-st 一致，因此 Xt\boxed{X_t} 是布朗桥。

英文解析

SDE（t<1t<1）：

dXt=−Xt1−tdt+dWt,X0=0.dX_t=-\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t,\quad X_0=0. dYt=11−tdWt.dY_t=\frac{1}{1-t}dW_t. Xt=(1−t)∫0t11−udWu.\boxed{X_t=(1-t)\int_0^t\frac{1}{1-u}dW_u}. Var⁡(Xt)=(1−t)2∫0t1(1−u)2du=t(1−t).\boxed{\operatorname{Var}(X_t)=(1-t)^2\int_0^t\frac{1}{(1-u)^2}du=t(1-t)}. Cov⁡(Xs,Xt)=s(1−t).\boxed{\operatorname{Cov}(X_s,X_t)=s(1-t)}.