对数价格 SDE

What's the SDE

个人笔记

金融数学题： $\log S_t$ 的 SDE。

Suppose that $dS_{t} = \mu S_{t}dt + \sigma S_{t}dW_{t}$ . What is the stochastic differential equation satisfied by $\log S_{t}$ ?

解析

对 $S_t$ ： $dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t$ ，令 $Y_t=\log S_t$ 。

Itô： $f(x)=\log x$ ， $f'(x)=1/x$ ， $f''(x)=-1/x^2$ ，且 $(dS_t)^2=\sigma^2S_t^2dt$ 。

因此

d\log S_t=\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma dW_t.

d\log S_t=\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma dW_t.