logSt\log S_tlogSt 的 SDE What's the SDE 专题 Finance / 金融 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Suppose that dSt=μStdt+σStdWtdS_{t} = \mu S_{t}dt + \sigma S_{t}dW_{t}dSt=μStdt+σStdWt . What is the stochastic differential equation satisfied by logSt\log S_{t}logSt ? 解析 对 StS_tSt：dSt=μStdt+σStdWtdS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_tdSt=μStdt+σStdWt，令 Yt=logStY_t=\log S_tYt=logSt。 Itô：f(x)=logxf(x)=\log xf(x)=logx，f′(x)=1/xf'(x)=1/xf′(x)=1/x，f′′(x)=−1/x2f''(x)=-1/x^2f′′(x)=−1/x2，且 (dSt)2=σ2St2dt(dS_t)^2=\sigma^2S_t^2dt(dSt)2=σ2St2dt。 因此 dlogSt=(μ−σ22)dt+σdWt.d\log S_t=\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma dW_t.dlogSt=(μ−2σ2)dt+σdWt.