关于 ∫0TW(t)dW(t)\int_0^T W(t)dW(t)∫0TW(t)dW(t) What can you say 专题 Finance / 金融 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 What can you say about ∫0Tw(t)dw(t)\int_{0}^{T}w(t)dw(t)∫0Tw(t)dw(t) , where w(t)w(t)w(t) is a standard Brownian motion? 解析 对 F(Wt)=12Wt2F(W_t)=\tfrac12 W_t^2F(Wt)=21Wt2 用 Itô： d(12Wt2)=WtdWt+12dt.d\left(\tfrac12W_t^2\right)=W_t dW_t+\tfrac12 dt.d(21Wt2)=WtdWt+21dt. 积分得到 ∫0TW(t)dW(t)=WT2−T2.\boxed{\int_0^T W(t)dW(t)=\frac{W_T^2-T}{2}}.∫0TW(t)dW(t)=2WT2−T. 并且 E[∫0TWdW]=0\mathbb{E}[\int_0^T W dW]=0E[∫0TWdW]=0。