局部方差是条件期望

在随机波动率模型中可写作

$$\frac{dS_t}{S_t}=(r-q)dt+\sqrt{\nu_t}\,dW_t,$$

局部波动率模型用确定函数 $\sigma_{\text{loc}}(t,S)$ 来匹配所有 vanilla。

Derman–Kani 的结果：局部方差等于即刻方差的条件期望（在给定 $S_t$ 的条件下）：

$$\boxed{\sigma_{\text{loc}}^2(t,K)=\mathbb{E}[\nu_t\mid S_t=K]}.$$

这解释了：局部波动率是“把随机波动率按终端分布权重平均后”投影到 $S$-空间的结果。

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英文解析

$$\frac{dS_t}{S_t}=(r-q)dt+\sqrt{\nu_t}\,dW_t,$$ $$\boxed{\sigma_{\text{loc}}^2(t,K)=\mathbb{E}[\nu_t\mid S_t=K]}.$$