Dupire（局部波动率）公式

局部波动率模型

$$\frac{dS_t}{S_t}=(r(t)-q(t))dt+\sigma_{\text{loc}}(t,S_t)dW_t$$

可完全拟合给定的 vanilla 面（$C(T,K)$）。Dupire 公式（以 $T$、$K$ 为自变量）为

$$\boxed{\sigma_{\text{loc}}^2(T,K)=\frac{\partial_T C+(r(T)-q(T))K\,\partial_K C+q(T)C}{\tfrac12 K^2\,\partial_{KK}C}}.$$

其中 $C=C(T,K)$ 为时点 0 的欧式 call 价格（或相应 forward/贴现形式）。

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英文解析

$$\frac{dS_t}{S_t}=(r(t)-q(t))dt+\sigma_{\text{loc}}(t,S_t)dW_t$$ $$\boxed{\sigma_{\text{loc}}^2(T,K)=\frac{\partial_T C+(r(T)-q(T))K\,\partial_K C+q(T)C}{\tfrac12 K^2\,\partial_{KK}C}}.$$