OU 过程 SDE 的显式解

Ornstein–Uhlenbeck：

$$dX_t=\theta(\mu-X_t)dt+\sigma dW_t.$$

乘积分因子 $e^{\theta t}$：

$$d(e^{\theta t}X_t)=\theta\mu e^{\theta t}dt+\sigma e^{\theta t}dW_t.$$

积分得到

$$\boxed{X_t=X_0e^{-\theta t}+\mu(1-e^{-\theta t})+\sigma\int_0^t e^{-\theta(t-s)}dW_s}.$$

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英文解析

Ornstein–Uhlenbeck：

$$dX_t=\theta(\mu-X_t)dt+\sigma dW_t.$$ $$d(e^{\theta t}X_t)=\theta\mu e^{\theta t}dt+\sigma e^{\theta t}dW_t.$$ $$\boxed{X_t=X_0e^{-\theta t}+\mu(1-e^{-\theta t})+\sigma\int_0^t e^{-\theta(t-s)}dW_s}.$$