条件期望过程与鞅表示

Natural Martingale

Let $Y$ be a real valued random variable on $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ such that

E[|Y|]< \infty

Define

M_{t} = E\left[Y\mid \mathcal{F}_{t}\right];\quad t\geq 0

Show that $M_{t}$ is an $\mathcal{F}_t$ - martingale. Conversely, let $M_{t};t\geq 0$ be a real valued $\mathcal{F}_t$ - martingale such that

\sup_{t\geq 0}E\left[|M_t|^p\right]< \infty \mathrm{for~some}p > 1

Show that there exists $Y\in L^{1}(P)$ such that $M_{t} = E\left[Y\mid \mathcal{F}_{t}\right]$

解析

若 $Y\in L^1$ ，定义 $M_t=\mathbb{E}[Y\mid\mathcal{F}_t]$ 。

对 $s<t$ ，用塔性质（tower rule）：

\mathbb{E}[M_t\mid\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid\mathcal{F}_t]\mid\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[Y\mid\mathcal{F}_s]=M_s,

故 $\boxed{M_t}$ 是 $\mathcal{F}_t$ -鞅。

反过来，若 $M_t$ 是鞅且满足 $\sup_t\mathbb{E}[|M_t|^p]<\infty$ （某个 $p>1$ ），则它一致可积，Doob 鞅收敛定理给出 $M_t\to Y$ （ $L^1$ 收敛）且

\boxed{M_t=\mathbb{E}[Y\mid\mathcal{F}_t]}

对某个 $Y\in L^1$ 成立。