前向起始期权

Forward Start Option

The terminal payoff of a forward start call option is

\mathrm{Fs}(T) = \left(S_{T} - KS_{T_{0}}\right)^{+}

where $0 < T_{0} < T$ . Calculate the price of a forward start call option at $t = 0$ when $\sigma$ and $r$ are constant.

解析

payoff： $(S_T-KS_{T_0})^+$ ， $0<T_0<T$ 。

在 $T_0$ 时刻，该期权等价于“到期 $T$ 、执行价 $KS_{T_0}$ 的普通 call”。其价值满足缩放性质：

C(S_{T_0},T-T_0,KS_{T_0})=S_{T_0}\,C(1,T-T_0,K).

因此在 $t=0$ 的价格（无分红）为

\boxed{V_0=S_0\,C_{BS}(1, T-T_0, K)}

等价地写成一个普通 BS call：

\boxed{V_0=C_{BS}(S_0, T-T_0, KS_0)}.

该产品对 forward skew 很敏感，实际常用随机波动率等模型。