前向起始期权

payoff：$(S_T-KS_{T_0})^+$，$0<T_0<T$。

在 $T_0$ 时刻，该期权等价于“到期 $T$、执行价 $KS_{T_0}$ 的普通 call”。其价值满足缩放性质：

$$C(S_{T_0},T-T_0,KS_{T_0})=S_{T_0}\,C(1,T-T_0,K).$$

因此在 $t=0$ 的价格（无分红）为

$$\boxed{V_0=S_0\,C_{BS}(1, T-T_0, K)}$$

等价地写成一个普通 BS call：

$$\boxed{V_0=C_{BS}(S_0, T-T_0, KS_0)}.$$

该产品对 forward skew 很敏感，实际常用随机波动率等模型。

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英文解析

payoff：$(S_T-KS_{T_0})^+$，$0<T_0<T$。

$$C(S_{T_0},T-T_0,KS_{T_0})=S_{T_0}\,C(1,T-T_0,K).$$ $$\boxed{V_0=S_0\,C_{BS}(1, T-T_0, K)}$$ $$\boxed{V_0=C_{BS}(S_0, T-T_0, KS_0)}.$$