平方收益期权

在风险中性测度下（无分红）$dS_t=rS_tdt+\sigma S_tdW_t$。

令 $Y_t=S_t^2$，Itô 得

$$dY_t=(2r+\sigma^2)Y_tdt+2\sigma Y_t dW_t,$$

因此 $Y_T$ 为对数正态，且

$$C_0=e^{-rT}\mathbb{E}[(Y_T-K)^+].$$

可写成 BS 形式：

$$\boxed{C_0=e^{-rT}\bigl(Y_0e^{(2r+\sigma^2)T}N(d_1)-KN(d_2)\bigr)},$$

其中 $Y_0=S_0^2$、$\sigma_Y=2\sigma$，

$$d_1=\frac{\ln(Y_0/K)+\bigl((2r+\sigma^2)+\tfrac12\sigma_Y^2\bigr)T}{\sigma_Y\sqrt{T}},\\qquad d_2=d_1-\sigma_Y\sqrt{T}.$$

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英文解析

$$dY_t=(2r+\sigma^2)Y_tdt+2\sigma Y_t dW_t,$$ $$C_0=e^{-rT}\mathbb{E}[(Y_T-K)^+].$$ $$\boxed{C_0=e^{-rT}\bigl(Y_0e^{(2r+\sigma^2)T}N(d_1)-KN(d_2)\bigr)},$$ $$d_1=\frac{\ln(Y_0/K)+\bigl((2r+\sigma^2)+\tfrac12\sigma_Y^2\bigr)T}{\sigma_Y\sqrt{T}},\\qquad d_2=d_1-\sigma_Y\sqrt{T}.$$