(ST2−K)+(S_T^2-K)^+(ST2−K)+ 的定价 European option with a payoff 专题 Finance / 金融 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 In the Black- Scholes world, price a European option with a payoff of max(ST2−K,0)\max \left(S_{T}^{2} - K,0\right)max(ST2−K,0) at time TTT . 解析 在风险中性测度下（无分红）dSt=rStdt+σStdWtdS_t=rS_tdt+\sigma S_tdW_tdSt=rStdt+σStdWt。 令 Yt=St2Y_t=S_t^2Yt=St2，Itô 得 dYt=(2r+σ2)Ytdt+2σYtdWt,dY_t=(2r+\sigma^2)Y_tdt+2\sigma Y_t dW_t,dYt=(2r+σ2)Ytdt+2σYtdWt, 因此 YTY_TYT 为对数正态，且 C0=e−rTE[(YT−K)+].C_0=e^{-rT}\mathbb{E}[(Y_T-K)^+].C0=e−rTE[(YT−K)+]. 可写成 BS 形式： C0=e−rT(Y0e(2r+σ2)TN(d1)−KN(d2)),\boxed{C_0=e^{-rT}\bigl(Y_0e^{(2r+\sigma^2)T}N(d_1)-KN(d_2)\bigr)},C0=e−rT(Y0e(2r+σ2)TN(d1)−KN(d2)), 其中 Y0=S02Y_0=S_0^2Y0=S02、σY=2σ\sigma_Y=2\sigmaσY=2σ， d1=ln(Y0/K)+((2r+σ2)+12σY2)TσYT,d2=d1−σYT.d_1=\frac{\ln(Y_0/K)+\bigl((2r+\sigma^2)+\tfrac12\sigma_Y^2\bigr)T}{\sigma_Y\sqrt{T}},\qquad d_2=d_1-\sigma_Y\sqrt{T}.d1=σYTln(Y0/K)+((2r+σ2)+21σY2)T,d2=d1−σYT.