BS 方程与边界条件

Derive the Black-Scholes

Derive the Black- Scholes equation for a stock, $S$ . What boundary conditions are satisfied at $S = 0$ and $S = \infty$ ?

解析

BS PDE：

\boxed{V_t+\tfrac12\sigma^2S^2V_{SS}+rSV_S-rV=0},\quad V(S,T)=\text{payoff}(S).

典型边界：

call： $\lim_{S\to 0}C(S,t)=0$ ， $\lim_{S\to\infty}\bigl(C-(S-Ke^{-r\tau})\bigr)=0$
put： $\lim_{S\to 0}P(S,t)=Ke^{-r\tau}$ ， $\lim_{S\to\infty}P(S,t)=0$

其中 $\tau=T-t$ 。