推导 Black–Scholes 方程

设 $S$ 满足 $dS=\mu Sdt+\sigma SdW$，衍生品价格 $V(S,t)$。

Itô：

$$dV=\left(V_t+\tfrac12\sigma^2S^2V_{SS}+\mu SV_S\right)dt+\sigma SV_S dW.$$

取自融资组合 $\Pi=V-\Delta S$，选 $\Delta=V_S$ 消去随机项，则 $\Pi$ 无风险。

无套利：$d\Pi=r\Pi dt=r(V-SV_S)dt$，得到

$$\boxed{V_t+\tfrac12\sigma^2S^2V_{SS}+rSV_S-rV=0}.$$