积分布朗运动矩

设 $I(T)=\int_0^T W_s\,ds$。

均值：$\mathbb{E}[I(T)]=\int_0^T\mathbb{E}[W_s]ds=0$。

方差：

$$\operatorname{Var}(I(T))=\int_0^T\int_0^T\min(s,u)\,ds\,du=\frac{T^3}{3}.$$

因此

$$\boxed{\mathbb{E}[I(T)]=0},\\qquad \boxed{\operatorname{Var}(I(T))=\frac{T^3}{3}}.$$

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英文解析

$$\operatorname{Var}(I(T))=\int_0^T\int_0^T\min(s,u)\,ds\,du=\frac{T^3}{3}.$$ $$\boxed{\mathbb{E}[I(T)]=0},\\qquad \boxed{\operatorname{Var}(I(T))=\frac{T^3}{3}}.$$