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条件四阶矩

Compute E

专题
Finance / 金融
难度
L4

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计算 E[Wt4∣Fs]\mathbb{E}\left[W_t^4\mid \mathcal{F}_s\right] , 对 0<s<t0 < s < t

英文原题

Compute E[Wt4∣Fs]\mathbb{E}\left[W_t^4\mid \mathcal{F}_s\right] , for 0<s<t0 < s < t

解析

写 Wt=Ws+(Wt−Ws)W_t=W_s+(W_t-W_s)，其中增量 Y:=Wt−Ws∼N(0,t−s)Y:=W_t-W_s\sim N(0,t-s) 且与 Fs\mathcal{F}_s 独立。

令 X=WsX=W_s（对 Fs\mathcal{F}_s 可测），则

E[Wt4∣Fs]=E[(X+Y)4∣Fs]=X4+6X2E[Y2]+E[Y4].\mathbb{E}[W_t^4\mid\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[(X+Y)^4\mid\mathcal{F}_s] =X^4+6X^2\mathbb{E}[Y^2]+\mathbb{E}[Y^4].

其中 E[Y2]=t−s\mathbb{E}[Y^2]=t-s，E[Y4]=3(t−s)2\mathbb{E}[Y^4]=3(t-s)^2，故

E[Wt4∣Fs]=Ws4+6(t−s)Ws2+3(t−s)2.\boxed{\mathbb{E}[W_t^4\mid\mathcal{F}_s]=W_s^4+6(t-s)W_s^2+3(t-s)^2}.

英文解析

E[Wt4∣Fs]=E[(X+Y)4∣Fs]=X4+6X2E[Y2]+E[Y4].\mathbb{E}[W_t^4\mid\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[(X+Y)^4\mid\mathcal{F}_s] =X^4+6X^2\mathbb{E}[Y^2]+\mathbb{E}[Y^4]. E[Wt4∣Fs]=Ws4+6(t−s)Ws2+3(t−s)2.\boxed{\mathbb{E}[W_t^4\mid\mathcal{F}_s]=W_s^4+6(t-s)W_s^2+3(t-s)^2}.