E[Wt4∣Fs]\mathbb{E}[W_t^4\mid\mathcal{F}_s]E[Wt4∣Fs] Compute E 专题 Finance / 金融 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Compute E[Wt4∣Fs]\mathbb{E}\left[W_t^4\mid \mathcal{F}_s\right]E[Wt4∣Fs] , for 0<s<t0 < s < t0<s<t 解析 写 Wt=Ws+(Wt−Ws)W_t=W_s+(W_t-W_s)Wt=Ws+(Wt−Ws)，其中增量 Y:=Wt−Ws∼N(0,t−s)Y:=W_t-W_s\sim N(0,t-s)Y:=Wt−Ws∼N(0,t−s) 且与 Fs\mathcal{F}_sFs 独立。 令 X=WsX=W_sX=Ws（对 Fs\mathcal{F}_sFs 可测），则 E[Wt4∣Fs]=E[(X+Y)4∣Fs]=X4+6X2E[Y2]+E[Y4].\mathbb{E}[W_t^4\mid\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}[(X+Y)^4\mid\mathcal{F}_s] =X^4+6X^2\mathbb{E}[Y^2]+\mathbb{E}[Y^4].E[Wt4∣Fs]=E[(X+Y)4∣Fs]=X4+6X2E[Y2]+E[Y4]. 其中 E[Y2]=t−s\mathbb{E}[Y^2]=t-sE[Y2]=t−s，E[Y4]=3(t−s)2\mathbb{E}[Y^4]=3(t-s)^2E[Y4]=3(t−s)2，故 E[Wt4∣Fs]=Ws4+6(t−s)Ws2+3(t−s)2.\boxed{\mathbb{E}[W_t^4\mid\mathcal{F}_s]=W_s^4+6(t-s)W_s^2+3(t-s)^2}.E[Wt4∣Fs]=Ws4+6(t−s)Ws2+3(t−s)2.