积分布朗运动方差

令 $I=\int_0^T W_s\,ds$。由于 $\mathbb{E}[W_s]=0$，有 $\mathbb{E}[I]=0$。

方差为

$$\operatorname{Var}(I)=\mathbb{E}[I^2]=\int_0^T\int_0^T \mathbb{E}[W_sW_u] \,ds\,du.$$

而 $\mathbb{E}[W_sW_u]=\min(s,u)$，因此

$$\operatorname{Var}(I)=\int_0^T\int_0^T \min(s,u)\,ds\,du=\frac{T^3}{3}.$$

即

$$\boxed{\operatorname{Var}\!\left(\int_0^T W_s ds\right)=\frac{T^3}{3}}.$$

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英文解析

$$\operatorname{Var}(I)=\mathbb{E}[I^2]=\int_0^T\int_0^T \mathbb{E}[W_sW_u] \,ds\,du.$$ $$\operatorname{Var}(I)=\int_0^T\int_0^T \min(s,u)\,ds\,du=\frac{T^3}{3}.$$ $$\boxed{\operatorname{Var}\!\left(\int_0^T W_s ds\right)=\frac{T^3}{3}}.$$