两独立布朗

对任意固定 $t>0$，$W_t,Z_t$ 独立且同分布于 $N(0,t)$，因此

$$\boxed{\frac{W_t}{Z_t}\sim\mathrm{Cauchy}(0,1)}.$$

令 $R_t=W_t/Z_t$（在 $Z_t\ne 0$ 上，且 $\mathbb{P}(Z_t=0)=0$）。用 Itô 公式对函数 $f(w,z)=w/z$，并注意 $d\langle W,Z\rangle_t=0$（独立），得到

$$dR_t=\frac{1}{Z_t}\,dW_t-\frac{W_t}{Z_t^2}\,dZ_t+\frac{W_t}{Z_t^3}\,dt =\frac{1}{Z_t}\,dW_t-\frac{R_t}{Z_t}\,dZ_t+\frac{R_t}{Z_t^2}\,dt.$$

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英文解析

$$\boxed{\frac{W_t}{Z_t}\sim\mathrm{Cauchy}(0,1)}.$$ $$dR_t=\frac{1}{Z_t}\,dW_t-\frac{W_t}{Z_t^2}\,dZ_t+\frac{W_t}{Z_t^3}\,dt =\frac{1}{Z_t}\,dW_t-\frac{R_t}{Z_t}\,dZ_t+\frac{R_t}{Z_t^2}\,dt.$$