两独立布朗：比值分布与 SDE

Two independent Brownian

专题: Finance / 金融
难度: L4
来源: QuantQuestion

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Given two independent Brownian motions $W_{t}$ and $Z_{t}$ , what is the distribution of $\frac{W_{t}}{Z_{t}}$ ? What stochastic differential equation is satisfied by the ratio?

解析

对任意固定 $t>0$ ， $W_t,Z_t$ 独立且同分布于 $N(0,t)$ ，因此

\boxed{\frac{W_t}{Z_t}\sim\mathrm{Cauchy}(0,1)}.

令 $R_t=W_t/Z_t$ （在 $Z_t\ne 0$ 上，且 $\mathbb{P}(Z_t=0)=0$ ）。用 Itô 公式对函数 $f(w,z)=w/z$ ，并注意 $d\langle W,Z\rangle_t=0$ （独立），得到

dR_t=\frac{1}{Z_t}\,dW_t-\frac{W_t}{Z_t^2}\,dZ_t+\frac{W_t}{Z_t^3}\,dt =\frac{1}{Z_t}\,dW_t-\frac{R_t}{Z_t}\,dZ_t+\frac{R_t}{Z_t^2}\,dt.