Itô 公式应用

写 $2^{W_t}=e^{(\ln 2)W_t}$。设 $X_t=2^{W_t}$，则

$$dX_t=X_t\left((\ln 2)\,dW_t+\frac12(\ln 2)^2\,dt\right).$$

存在正漂移 $\tfrac12(\ln 2)^2X_t\,dt$，所以 $2^{W_t}$ 不是鞅。

若改为

$$\widetilde X_t=2^{W_t}\exp\left(-\frac12(\ln 2)^2 t\right),$$

则漂移抵消，$\widetilde X_t$ 为鞅。

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英文解析

$$dX_t=X_t\left((\ln 2)\,dW_t+\frac12(\ln 2)^2\,dt\right).$$ $$\widetilde X_t=2^{W_t}\exp\left(-\frac12(\ln 2)^2 t\right),$$