布朗运动在 $y=t$ 上方停留的期望总时长

Expected total time

What is the expected total time that the Brownian motion $\{B_{t}\}_{0\leq t< +\infty}$ spends above the line $y = t$ ?

解析

要求

E=\mathbb{E}\left[\int_0^{\infty}\mathbf{1}_{\{B_s>s\}}\,ds\right].

由 Fubini：

E=\int_0^{\infty}\mathbb{P}(B_s>s)\,ds.

写 $B_s=\sqrt{s}\,Z$ ， $Z\sim N(0,1)$ ，则

\mathbb{P}(B_s>s)=\mathbb{P}(Z>\sqrt{s}).

因此

E=\int_0^{\infty}\mathbb{P}(Z>\sqrt{s})\,ds=\mathbb{E}\left[(Z^+)^2\right]=\frac{1}{2}.

即

\boxed{E=\frac12}.