布朗运动停留时间 Expected total time 专题 Finance / 金融 难度 L4 来源 QuantQuestion 收藏 标记掌握 个人笔记 题目详情 金融数学题：布朗运动在 y=ty=ty=t 上方停留的期望总时长。 英文原题 What is the expected total time that the Brownian motion {Bt}0≤t<+∞\{B_{t}\}_{0\leq t< +\infty}{Bt}0≤t<+∞ spends above the line y=ty = ty=t ? 解析 要求 E=E[∫0∞1{Bs>s} ds].E=\mathbb{E}\left[\int_0^{\infty}\mathbf{1}_{\{B_s>s\}}\,ds\right].E=E[∫0∞1{Bs>s}ds]. 由 Fubini： E=∫0∞P(Bs>s) ds.E=\int_0^{\infty}\mathbb{P}(B_s>s)\,ds.E=∫0∞P(Bs>s)ds. 写 Bs=s ZB_s=\sqrt{s}\,ZBs=sZ，Z∼N(0,1)Z\sim N(0,1)Z∼N(0,1)，则 P(Bs>s)=P(Z>s).\mathbb{P}(B_s>s)=\mathbb{P}(Z>\sqrt{s}).P(Bs>s)=P(Z>s). 因此 E=∫0∞P(Z>s) ds=E[(Z+)2]=12.E=\int_0^{\infty}\mathbb{P}(Z>\sqrt{s})\,ds=\mathbb{E}\left[(Z^+)^2\right]=\frac{1}{2}.E=∫0∞P(Z>s)ds=E[(Z+)2]=21. 即 E=12.\boxed{E=\frac12}.E=21. 英文解析 E=E[∫0∞1{Bs>s} ds].E=\mathbb{E}\left[\int_0^{\infty}\mathbf{1}_{\{B_s>s\}}\,ds\right].E=E[∫0∞1{Bs>s}ds]. E=∫0∞P(Bs>s) ds.E=\int_0^{\infty}\mathbb{P}(B_s>s)\,ds.E=∫0∞P(Bs>s)ds. P(Bs>s)=P(Z>s).\mathbb{P}(B_s>s)=\mathbb{P}(Z>\sqrt{s}).P(Bs>s)=P(Z>s). E=∫0∞P(Z>s) ds=E[(Z+)2]=12.E=\int_0^{\infty}\mathbb{P}(Z>\sqrt{s})\,ds=\mathbb{E}\left[(Z^+)^2\right]=\frac{1}{2}.E=∫0∞P(Z>s)ds=E[(Z+)2]=21. E=12.\boxed{E=\frac12}.E=21.