给定 $B_3=\sqrt3$：$\mathbb{P}(B_1>B_2)$

令 $X=B_1$，$Y=B_2-B_1$，$Z=B_3-B_2$，则 $X,Y,Z$ 独立且均为 $N(0,1)$，并且

$$B_3=X+Y+Z.$$

事件 $B_1>B_2$ 等价于 $Y<0$。设 $S=X+Y+Z$，则 $\operatorname{Var}(S)=3$，且 $\operatorname{Cov}(Y,S)=\operatorname{Var}(Y)=1$。

因此在条件 $S=\sqrt3$ 下，$Y$ 的条件分布为

$$Y\mid(S=\sqrt3)\sim N\left(\frac{1}{3}\sqrt3,\ 1-\frac{1}{3}\right)=N\left(\frac{1}{\sqrt3},\ \frac{2}{3}\right).$$

于是

$$\mathbb{P}(B_1>B_2\mid B_3=\sqrt3)=\mathbb{P}(Y<0)=\Phi\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right).$$

即

$$\boxed{\mathbb{P}(B_1>B_2\mid B_3=\sqrt3)=\Phi\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)\approx 0.2398}.$$