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布朗桥

Brownian bridge

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

设 WsW_s 是由 W0=0W_0=0、Wt=xW_t=x 条件约束得到的布朗桥。对 0≤s<t0\le s<t，求 WsW_s 的分布。

英文原题

Let WsW_{s} be a Brownian bridge, that is a Brownian motion constrained stich that W0=0W_{0} = 0 and Wt=xW_{t} = x . What is the distribution of WsW_{s} , for 0≤s<t0 \leq s < t ?

解析

设 {Wu}\{W_u\} 为标准布朗运动，给定 W0=0W_0=0 且 Wt=xW_t=x（即布朗桥条件）。对 0≤s<t0\le s<t，有

Ws∣(Wt=x)∼N(stx, s(t−s)t).W_s\mid (W_t=x)\sim N\left(\frac{s}{t}x,\ \frac{s(t-s)}{t}\right).

其中均值来自线性回归（联合正态），方差为

Var⁡(Ws)−Cov⁡(Ws,Wt)2Var⁡(Wt)=s−s2t=s(t−s)t.\operatorname{Var}(W_s)-\frac{\operatorname{Cov}(W_s,W_t)^2}{\operatorname{Var}(W_t)} =s-\frac{s^2}{t}=\frac{s(t-s)}{t}.

英文解析

Ws∣(Wt=x)∼N(stx, s(t−s)t).W_s\mid (W_t=x)\sim N\left(\frac{s}{t}x,\ \frac{s(t-s)}{t}\right). Var⁡(Ws)−Cov⁡(Ws,Wt)2Var⁡(Wt)=s−s2t=s(t−s)t.\operatorname{Var}(W_s)-\frac{\operatorname{Cov}(W_s,W_t)^2}{\operatorname{Var}(W_t)} =s-\frac{s^2}{t}=\frac{s(t-s)}{t}.