一维对称随机游走回到起点的概率

一维对称随机游走是常返（recurrent）的。

等价地，证明从 1 出发最终命中 0 的概率为 1：设 $\alpha_k$ 为从 $k\ge 1$ 出发“永不访问 0”的概率，则由一步分析

$$\alpha_k=\tfrac12\alpha_{k-1}+\tfrac12\alpha_{k+1},\quad \alpha_0=0.$$

该差分方程的有界解只能是 $\alpha_k\equiv 0$，故 $\alpha_1=0$。

从 0 出发第一步必到 $\pm 1$，再以概率 1 回到 0，因此

$$\boxed{\mathbb{P}(\text{回到起点})=1}.$$