一维对称随机游走回原点：期望步数

设 $N$ 为从 0 出发首次回到 0 的步数（首次回归时间）。一维对称随机游走虽然以概率 1 回到原点，但它是“零常返”（null recurrent），即首次回归时间的期望发散。

更直观地：从 0 出发第一步到 $\pm 1$。令 $M$ 为从 1 出发首次到 0 的时间，则 $N=1+M$（分布相同），且

$$\mathbb{E}[M]=\sum_{k\ge 0}\mathbb{P}(M>k).$$

利用反射原理可得 $\mathbb{P}(M>k)\asymp c/\sqrt{k}$，因此上述级数发散，于是

$$\boxed{\mathbb{E}[N]=+\infty}.$$